【数学】Fwd:ほぼゼロから学び直す高校数学 #4＞定積分・不定積分 - 音ゲー、fps、DTM、プログラミング雑記置き場

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本記事の注意点

筆者は統計学も大学の応用数学もまじめに専攻してません！
- 自分が理解するためにかみ砕いた記事の為語弊もあります。
各単語や公式の成り立ちや背景にフォーカスをあてて書いているので、
この記事を読んで○○が解けるとかはないです。
- 参考書というよりはエッセー感覚で読んでいただけると幸いです

不定 積分

大雑把にいうとに $\int$ に区分がないやつ
微分の逆操作（ある関数の原始関数を求める）
- 原始関数に関しては $F'\left( x\right) =f\left( x\right)$ が成り立つ
- 関数によっては原始関数が１つに定まらない場合があるので積分定数Cで帳尻を合わせる
  - e.g.) $x^{2}$ の原始関数は $\dfrac{1}{3}x^{3}$ になるが、
    定数は微分すると0になるので $\dfrac{1}{3}x^{3}+2$ も原始関数とできる
  - 定数はグラフ描画において傾きの要素に依存してない、 $x^{2}$ も $x^{2}+2$ のグラフも
    グラフ全体の座標がずれるだけで傾き（接線）の推移（導関数）は同じになる
下記は不定積分の定義(Cは積分定数)

$\int f\left( x\right) =F\left( x\right) +C \tag{1}$

定積分

こっちも大雑把にいうと $\int$ に区分があるやつ
不定積分では微分の逆操作といったが、こちらは積分対象に区分があるので、
積分対象の関数 $f\left( x\right)$ のグラフの面積 $S\left( x\right)$ が求められる
いきなり面積が求められるといわれてもという感じなのでイメージ図で掘り下げる
グラフの区分a-bの範囲の面積を下記図のように長方形を敷き詰めれば、まずグラフの面積の求めるアプローチ
のイメージはつくかも

上記イメージの射線部分の長方形の面積だけでいえば、たて×よこで $f\left( x\right) dx$ となる
グラフ内の長方形は幅が狭くなればなる（dxが0に近ければ近い）ほど実際のグラフ面積に近似できる
- なのである関数 $f\left( x\right)$ の区分a-bの定積分はその原始関数 $F\left( x\right)$ とすると下記となる

$\displaystyle{ \begin{aligned}\int ^{b}_{\cdot a}f\left( x\right) dx=\left[ F\left( x\right) \right] _{a}^{b}\\ =F\left( b\right) -F\left( a\right) \end{aligned} \tag{2} }$

（2）の式で原始関数とかつかってるし微分ともかかわってるじゃん！
- 微分と何が関係あるのか？
- 上記長方形を用いてグラフ面積を求める方法を区分求積法という
  - この方法で微分を用いると面積を求めるのに便利なので積分と微分を結びついた
  - 長方形をN個用いて面積を求めるとすると、各長方形は下記のようにナンバリングされる
  - あるk番目（）長方形の面積は先述した、たて×よこで
    - $\Delta x$ が長方形の横の長さ
  - しきつめる長方形をN個が多ければ多いほどグラフ面積に近似するので、下記式が成立する
- 長方形を集めたものをグラフ面積を求めようというのが積分

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum ^{n}_{k=1}\Delta xf\left( x_{k}\right) = \int ^{b}_{a}f\left( x\right) dx \tag{3}$

この区分求積法を掘り下げると微分との関連性がでてくる
- N個の長方形の任意の１個を取り出したもののkはの範囲で自由に取れるので、
  それに伴い長方形の面積は下記不等式が成立する
  - 最小のkを取る $f\left( x\right)$ の値をm、
    最大のkを取る $f\left( x\right)$ の値をMとしている

$x_{k}\cdot m\leq x_{k}f\left( x\right) \leq x_{k}\cdot M \tag{4}$

区分求積法を適用するにあたって、１つ目の長方形とそれ以外の長方形が出てくる
- この２つのエリアに分かれた長方形を足すことで求めたいグラフ面積 $S\left( x\right)$ が求まり、
  $\displaystyle{x=x _ {n-k}+x _ {k}}$ を加味すると下記式が成立する
- 各エリアに対して区分求積法をあてはめてグラフ面積になることを前提とした式になっているので、
  諸々すっとばしたかなり乱暴な論法になってるのは否定しない

区分求積法のイメージ２

$S\left( x\right) =S\left( x_{n-k}+x_{k}\right) =S\left( x_{n-k}\right) +S\left( x_{k}\right)$

$S\left( x_{k}\right) = S\left( x_{n-k}+x_{k}\right) -S\left( x_{k}\right) \tag{5}$

(5)の $\displaystyle{\displaystyle{S\left( x _ {k}\right)}}$ は長方形１個の大きさ $\displaystyle{\displaystyle{x _ {k}f\left( x\right)}}$ の為、
(5)を(4)に代入すると下記となる

$x_{k}\cdot m\leq S\left( x_{n-k}+x_{k}\right) -S\left( x_{k}\right) \leq x_{k}\cdot M \tag{6}$

すべての辺を $x_{k}$ で割る

$m\leq \dfrac{S\left( x_{n-k}+x_{k}\right) -S\left( x_{k}\right) }{x_{k}}\leq M \tag{7}$

すべての辺に対し $\displaystyle{\begin{aligned}\lim x _ {k}\rightarrow 0\end{aligned}}$ を考えると、
長方形 $x_{k}$ の幅が0に近づく区分求積法の考えに基づき、正しいグラフ面積に近づく
また長方形の幅が0に近づくということは、冒頭で説明した下記kの性質が成立しなくなる
- N個が∞に発散するため長方形をグラフに敷き詰めるという概念がなくなるため