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【数学】Fwd:ほぼゼロから学び直す高校数学 #3＞微分

数学

本記事の注意点

  • 筆者は統計学も大学の応用数学もまじめに専攻してません！
    • 自分が理解するためにかみ砕いた記事の為語弊もあります。
  • 各単語や公式の成り立ちや背景にフォーカスをあてて書いているので、
    この記事を読んで○○が解けるとかはないです。
    • 参考書というよりはエッセー感覚で読んでいただけると幸いです。

微分のイメージをつかむ

  • ある関数 f\left( x\right) の任意の箇所（スナップショット）の各軸の変化量を求める

    • 変化量が接線、変化量を求められる関数が導関数となる
    • なので微分はある関数 f\left( x\right) の導関数 f'\left( x\right) を求める作業となる

  • ある地点１点の変化量という概念が矛盾しているため２点aとa+hをとって、片方の点を限りなく0に近づけることで実現している

    • 限りなく0に近づけるという考え方は極限といい \lim _{h\rightarrow 0} のように表す
  • 連続したaに対し都度、接線を求めることで2次元以上の曲線を1次の直線のデータに落とし込むことができる
    • hが0に限りなく近づいている状態=時系列の概念が生まれる
    • 大学以降では解析学としてあらゆる自然事象を数式に落とし込むプロセスで微分が応用される
  • 導関数の定義としては下記となる
f'\left( x\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{x+h-h}


=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{x} \tag{1}


  • 下記はある関数 f\left( x\right) の導関数 f'\left( x\right) のイメージ図

微分(導関数)イメージ図

  • 微分とセットで考えられる積分に関しては、積分の項で説明予定だが、
    頭出しで軽く説明すると、微分すると関数 f\left( x\right) になるような F\left( x\right) を
    f\left( x\right) の原始関数という
  • 積分は原始関数を求める（=微分の逆操作）を行う作業をしている
    • 厳密には上記は不定積分での作業で、定積分はまた別の操作となる

あとがき

  • 微分は次数を下げる計算ととらえて機械的に解くことも可能だが、
    積分とも大きくかかわってくるので微分を行うと何が求まる（＝接線と導関数）のかをイメージできるといいのかも
  • 微分はあらゆる関数に適用でき、その都度公式が出来るが
    基本は導関数の定義（1）の式で導出可能のため、公式丸暗記せず
    一度各関数の導関数を 計算で導出するとイメージしやすくなるかも
  • 極限の話を１行くらいでしたけど今後、大学で解析学をやるにあたって
    「限りなく」を数式で落とし込む必要があるが、高校数学の範疇では
    0や∞に近づいて近似できるんだな～くらいの認識でもいい？
  • 余談すぎるけど、クリスタの手振れ補正で意外とグラフがかけてちょっと便利

参考記事・文献